Analisi numerica dei metodi basati sull'approssimazione polinomiale per la risoluzione di equazioni integrali ipersingolari

M.R. Capobianco¹ - G. Criscuolo$^{*,**}$

Key words: Hypersingular integral equation; Weighted Sobolev spaces; Weighted Besov spaces.

AMS subject classification: 41A05; 45E05; 45L05; 65R20

Abstract:

In meccanica della frattura, il problema della strip infinita con un crack perpendicolare al suo contorno ha ampio interesse. Infatti, tale geometria può essere usata come approssimazione di componenti strutturali e nei modelli di laboratorio. Il relativo problema al contorno può essere ricondotto alla risoluzione di un'equazione integrale con nucleo ipersingolare [4,5,6]. La soluzione $f$ di tale equazione è espressa in termini delle componenti lungo le due direzioni del vettore che genera il crack, e può essere rappresentata come $f=Fw$ con $w(x)=\sqrt{1-x^2}$ (crack interno), oppure $w(x)=\sqrt{1-x}$ (crack esterno).

Numerosi autori hanno studiato equazioni integrali caratterizzate da un nucleo ipersingolare ed i relativi metodi numerici [1,2,3,7,8]. L'idea comune è quella di ottenere approssimazioni polinomiali delle soluzioni mediante metodi che siano facilmente implementabili, stabili e convergenti in speciali spazi funzionali pesati. Infatti, le soluzioni delle suddette equazioni integrali sono localmente regolari con qualche discontinuità negli estremi dell'intervallo su cui sono definite. Pertanto, esse possono vedersi come prodotto di una componente regolare e di una funzione (peso) con zeri o singolarità negli estremi dell'intervallo. Quindi, approssimare la parte regolare della soluzione mediante polinomi in spazi funzionali pesati appare la tecnica più efficace. Facendo ricorso a tale tecnica, relativamente ad una particolare equazione integrale ipersingolare, proviamo che l'approccio polinomiale è ancora una volta da preferirsi a quello mediante splines o mediante metodi di quadratura.

I metodi numerici proposti in letteratura sono applicabili all'equazione integrale relativa al caso di crack interno, essendo fondamentale l'ipotesi che la soluzione sia della forma $f(x)=F(x)\sqrt{1-x^2}$. Studiando il problema del crack esterno, proponiamo di risolvere numericamente l'equazione integrale che lo caratterizza, alla presenza anche di nuclei di perturbazione, mediante i metodi di collocazione e di collocazione discreta basati sull'approssimazione polinomiale. Risultati di convergenza e di stabilità dei suddetti metodi vengono stabiliti in norme pesate di Sobolev ed in opportuni spazi pesati delle fuzioni continue. Inoltre, proponiamo un fast algorithm per la costruzione della soluzione numerica ottenuta col metodo di collocazione discreta.

1. M.R. Capobianco, G. Criscuolo, P. Junghanns, A fast algorithm for Prandtl's integro-differential equation, J. Comp. Appl. Math. 77 (1997), 103-128.
2. M.R. Capobianco, G. Criscuolo, P. Junghanns, U. Luther, Uniform convergence of the collocation method for Prandtl's integro-differential equation, ANZIAM J. 42 (2000), 151-168.
3. A.I. Kalandiya, Mathematical Methods of Two-Dimensional Elasticity, (Mir, Moscow, 1975).
4. A.C. Kaya, Applications of integral equations with strong singularities in fracture mechanics, Ph. D. thesis, Lehigh University, 1984.
5. A.C. Kaya, F. Erdogan, On the solution of integral equations with strongly singular kernel, Quart. Appl. Math. XLV (1987), 105-122.
6. W.T. Koiter, Discussion of "Rectangular tensile sheet with symmetrical edge crack" by O.L. Bowie, J. Appl. Mech. 32, Trans. ASME 87, series E, 237 (1965).
7. P. Junghanns, B. Silbermann, The numerical treatment of singular integral equations by means of polynomial approximation, I, preprint P-Math-35/86, AdW der DDR, Karl-Weierstraß-Institut für Mathematik, Berlin, 1986.
8. S. Prössdorf, B. Silbermann, Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations, (Akademie Verlag, Berlin, 1991).

Footnotes

... Capobianco¹

Istituto per le Applicazioni del Calcolo "M. Picone" - C.N.R. Sezione di Napoli
Via Pietro Castellino, 111, 80131 Napoli, Italy capobian@iam.na.cnr.it
$^{**}$ Dipartimento di Matematica e Applicazioni, Universitá degli Studi di Napoli ``Federico II'', Complesso Monte Sant'Angelo, Edificio T,
Via Cintia, 80126 Napoli, Italy criscuo@matna2.dma.unina.it